编者按：国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的学术会议，每四年举行一次。开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。大会上，将有来自世界各地的著名数学家受邀作学术报告，分享他们在各自领域中取得的重大科研成果与进展。ICM报告人身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。

2022年7月，第29届国际数学家大会将在俄罗斯圣彼得堡举行。今秋，2022年圣彼得堡国际数学家大会官网上公布了本届报告人名单，5位北京大学数学学科教师：鄂维南、朱小华、章志飞、董彬、刘毅受邀成为报告人，其中鄂维南院士将作一小时报告。另有8位北大校友将作45分钟报告，他们分别是：丁剑、李驰、刘钢、汪璐、王国祯、徐宙利、周鑫、朱歆文。我们特别策划“北大数学ICM2022报告人专访”，分享他们的数学研究经历与感悟。

丁剑，2002年至2006年就读于北京大学，获学士学位。此后赴美学习，于2011年获美国加州大学伯克利分校博士学位。现任宾夕法尼亚大学Gilbert Helman讲席教授。曾任宾夕法尼亚大学沃顿商学院副教授、芝加哥大学统计系助理教授、副教授。主要研究领域是概率论，尤其关注统计物理学与计算机科学的交叉。曾获Rollo Davidson Prize, Alfred P. Sloan Fellowship, NSF Career Award。

Q：您是明年ICM的45分钟报告人，请问您准备在会议上报告什么内容？

A：我是跟Julien Dubedat和Ewain Gwynne收到的联合邀请，我们的报告会集中在刘维尔量子引力（Liouville quantum gravity）距离的构造这一课题。

Q：是否可以简要介绍一下您目前的研究领域？

A：过去三四年的研究有一大块儿是随机几何：上述的刘维尔量子引力是这里面的一个子课题，另外还有一些跟高斯自由场(Gaussian free field)相关的渗流问题我也很感兴趣。另外一大块是研究一些经典的统计物理模型，尤其关注微小的随机扰动会不会从根本上改变这些模型原有的性质（这方面我关注过的模型包括随机游动，安德森局域化Anderson localization和伊辛模型）。应该说上面这些研究课题都是属于概率论跟统计物理的交叉方向。除此之外，我对一些基于（统计）应用的理论问题也比较感兴趣。

Q：您为什么会去伯克利读博，并在初期选择做混合时（mixing time）这个方向？

A：申请博士时，我被一些学校包括伯克利录取。综合学术和生活的考虑，我选择了伯克利。陈大岳老师是Yuval Peres的合作者，他就把我推荐给了Yuval。我念博士时Yuval对马氏链的这种收敛时或者说混合时比较感兴趣，当时我的状态是我导师让我做什么我就做什么，于是就这样做了两年的混合时。

Q：接下来您为什么去做了高斯自由场最大值的问题？

A：这个也很自然，因为我当时做完马氏链的混合时，对马氏过程和随机游动了解得比较多一些。当时我们就做了一个随机游动的覆盖时(cover time)问题，可能与过去有些不一样，但是基本还是在一个方向里面倒腾。像David Aldous和James Fill有本关于马氏链的书，里面就讲了各种混合时、相遇时(meeting time)、结合时(coalescence time)和覆盖时，这些东西都是比较相关的。我们做随机游动的覆盖时问题的时候，发现随机游动的覆盖时跟图上面的高斯自由场的最大值有关系。我觉得这个问题好像挺好玩，因为高斯过程的极值是一个比较基本的问题，后来我就转去做高斯过程的极值，尤其是二维高斯自由场是一个比较重要的例子，就在那上面做了一些工作，这些转折都比较自然。

Q：您与Nike Sun和Allan Sly在random kSAT conjecture上的工作获得过戴维逊奖(Rollo Davidson prize)，当时为什么会去做那个问题？

A：我跟Allan Sly、Nike Sun之前都非常熟悉，经常两两聊天也常常三人一起聊天。他们在很长的时间里还扮演了我的英语老师的角色（除了一些正式场合，他们会在聊天中实时地纠正我的语言错误）。他们之前做过一些关于约束条件满足问题计算复杂性的研究，然后某次聊起这个的时候，提起他们对一些随机约束条件满足问题感兴趣，我也觉得这个问题听起来挺有意思的（当然我们也都知道这是一个比较重要的问题），于是大家就开始讨论。我的学术生涯中这样的事情其实发生了很多次，就是当你开始跟一个人熟悉以后，就比较多地在茶余饭后开始学术交流然后经常能自然地找到一些共同的兴趣点。

Q：您一般是怎么切入一个之前完全没有做过的问题，比如kSAT？

A：我在选择问题的时候相对来说比较随意，但是大概有一个标准，就是这个问题我不费什么力气就能听得懂。如果那个问题我要花费很多的力气才能明白，那就可能不是我的菜，除非是一些特殊的情况，或者说我已经在相关领域有一些知识储备，我可能愿意去再学一点来理解它。通常我选的问题是描述出来大家都听得懂，但是做起来又不是很容易，同时也含有一些新颖有趣的数学结构。比如kSAT这个问题的描述很简单，刚开始我是很喜欢里面的一些组合结构。当然最后解决它用到的工具非常的深刻，在这里物理学家的工作不仅给出了准确的预测，也对我们的数学证明提供了至关重要的启示。

Q：感觉这个问题跟很多方向都有联系，比如统计物理？

A：对，跟统计物理有联系，跟计算复杂性有联系， 跟统计推断也有一点联系。因为kSAT问题最坏的情形是非常难以计算的，那么我们可以转而考虑随机的kSAT问题，我们希望知道在哪些参数条件下是可以有有效算法来计算的，在哪些参数条件下应该是非常难以有有效算法的。我们解决的是kSAT问题关于解的存在性的相变，这只是整个宏伟蓝图的第一步。大家希望能够更加完整彻底地理解解的空间结构的相变，然后用来指导我们要么找到有效算法，要么给出没有有效算法的有力证据。这种计算复杂性上面的相变还理解得很不清楚。计算上面的困难，在统计里面也经常出现，很多时候我们确实已经有足够的信息来做统计推断了，但就是缺少有效的算法把有用的信息提取出来（有的时候可能就是非常难以有有效的算法）。我觉得这是在理论上很深刻，应用上也很有背景的一个研究方向，但是我其实跟进得不多了，现在这一块我主要是和一些做统计的朋友做。

Q：您后来为什么做带随机外场的伊辛模型？

A：2013年我去参加一个学术会议，当时做了一个关于高斯过程极值的报告，然后Thomas Spencer告诉我关于带随机外场的伊辛模型在二维情形下的衰减速度还没有解决并且在物理学家中也存在争议。他觉得这个问题跟高斯过程的极值有一些联系，所以建议我去尝试。我很快被这个问题吸引，但刚开始时一点头绪都没有。在芝加哥大学的时候，我还跟Steven Lalley讨论过，用Steven Lalley的话来说我们完全没有找到头绪。但这个问题一直在我的脑子里，因为我觉得这个问题很有意思，也一直不确定（当然无法证明）是不是对所有的参数情形都有指数衰减。2019年我指导宾大一年级学生夏家铭时，就考虑一起做这个问题，我当时觉得对一年级学生来说，这个问题挑战非常大，但是哪怕做出一些中间性结果也是有意义的。结果我们最后竟然解决了这个问题，我很是开心。

Q：您和Charles Smart在安德森局域化上有些工作，你们是怎么开始合作的？

A：基本上和之前都是一个模式。我之前跟徐长吉、Ryoki Fukushima、孙嵘枫做了随机环境下随机游走的局域化问题。我隐隐约约听说过安德森局域化这个名词，但我不知道是什么意思。当时我就想知道什么是安德森局域化，和我们在随机游走上面的工作到底有没有关系。后来在一次午餐的时候，我问Charles Smart对安德森局域化了解吗，他说了解并且正好最近在考虑一些相关的问题，我们便开始了讨论。我跟Charles Smart两个人的背景是很不一样的，他兼具偏微分方程和概率论的背景，而我对偏微分方程不是很熟悉，但概率里面有一些技巧我相对熟悉一点，我们聊天觉得蛮有意思蛮互补的。

在国外工作时期的丁剑

Q：您是怎么“存储”之前的许多问题，然后经常进行回顾的？

A：在研究过程中，肯定会积累很多的问题。这些问题肯定都是很难的，要不然早就做掉了。当我听到一个新的报告，或者在其他的问题上有一个新想法的时候，我都会回过头去看一遍，这个在之前的问题中能不能去用，大部分情形下是用不上的。用不上那就等下一次。

Q：您在学术上面上升一个台阶，一般这种转折点都大致发生在什么时候？什么时候感觉到了一种很明显的提升？

A：博士期间，我一直是跟我的导师合作做混合时覆盖时等问题。接下来几年我发现我好像能跟很多人都去讨论，做很多不同的方向，这可能是我第一次觉得自己在毕业以后有些长进，但也没有明显的标志性事件。最近几年我觉得学问的提升可能在于我能够有时看到我做的这些看似零散问题之间的一些联系，偶尔我也能够把一个方向上的想法搬到别的方向上，这让我感到非常愉悦。

Q：您有遇到过一篇文章开始写之后，发现它错掉之后就放那的情况吗？会很失落吗？

A：当然先是试图纠错，如果没有办法改正也只好暂时搁下。我已经经历过好几次了，这也是很正常的。当然会感到失落，但如果同时还有其他的问题进展得好，就没那么难过了。

Q：听说您本科是后来转来的数院对吗？那您为什么选择转来数院呢？

A：是的，我大一时在信息管理系。大一的课程里我学得最好的就是高等数学了，所以当有转系机会的时候，我就选择转来了数院。

大一刚入学时的丁剑

Q：能谈谈北大对您在数学基础方面的影响吗？您本科的时候也和同学们一起读书或者参加讨论班吗？

A：影响是非常大的。我在北大把高等概率论和随机过程论学了以后，在伯克利的第一年课程学习相对是比较轻松的。我记得本科时多元统计的课好像大家都听不懂，韩晗就组织了一个读书会，他当时在概率统计系是相当有号召力的。读书会上，两个学生一组，每个学生要把每一章节总结一下，然后晚自习的时候进行汇报。关于概率论的研讨班，陈大岳老师、章复熹老师的讨论班我自然是参加过的。记得当时为了学习随机图，我跟陈大岳老师的博士生刘琦开过两个人的讨论班。后来我们还去中科院蹭讨论班，马志明老师的讨论班就是刘琦带我去的。现在北大本科生的讨论班就更加丰富了，我接触过一些年轻的本科生，水平非常的高。

Q：您如何评价北大的本科教育？

A：我觉得非常好。整个课程的设计很扎实，而且学的深度很够。在我转系之前，没有学过数学分析，但是北大有一本方企勤老师的数学分析题集，我觉得把那个过一遍，就差不多了。这种习题集还蛮多的。其次就是环境的影响，这来自于你的同学。我们很多时候跟同学讨论问题，看着同样年纪的人，他们那么的努力又那么的聪明，对你会是一个很大的激励。大家会在这种讨论的过程中，共同进步。北大因为有非常多的出色的学生而在这方面有着得天独厚的条件。

Q：在北大读书时有哪位老师给您深刻的影响？

A：陈大岳老师的考题很变态。我一直生活在这种要挂科的恐惧之下，所以我就拼命地学，后来应用随机过程那门课就学得非常好。现在他可能还好一点了，我们当时真的是挺变态的。然而当时常微分方程很多人考100，我考了80，就没怎么学。后来我发现被（陈老师的课）套进去了，陈老师这种方法套进去的学生也不是很多，但是把我套进去了。夏壁灿老师是我的本科生科研的指导老师，对我影响当然也很大。当时我做符号计算，跟另外一个学生汪腾一起，我们经常会跟夏老师讨论，他会让我们有机会跟这方面的专家去交流、一起开会，这对我们感受学术氛围和融入学术环境有很大的帮助。

Q：您本科时候跟同学之间有什么有趣的故事？

A：因为我是转系生，第二年才来到数院，第一年的“革命友谊”没有建立起来，当时融入学院略尴尬。后来我常去学院的本科生阅览室，经常从早到晚待在那里，本科生阅览室的人我都很熟悉。转系之前，我和刘保平上同一门英语课，他给我讲了数学系的各种故事、各种段子，他把他的好朋友无私地分享给了我，我就迅速进入了这个圈子。在我去概率统计系之前，韩晗是第一名，我去以后好像我的成绩对他有“威胁”（笑），我们就谈了一下，在小小楼里面两个人牛皮吹得呼呼作响，现在想起来还蛮好笑的，当时就觉得自己特牛。回过头去看，当时实在是非常的轻狂，但这种轻狂也没什么不好，如果年轻时不轻狂，也蛮悲哀的。

丁剑（左）与同学刘毅（中）、刘保平（右）读书期间合影。刘毅、刘保平现任职于北京国际数学研究中心

Q：还有哪些北大数院的校友对您产生过影响？

A：出国时我受到2001级师兄马宗明的影响，他现在是我在沃顿的同事，他建议我去概率统计系并且争取去Berkeley，可以说他是我选择出国学习这件事上一锤定音的人。我焦虑时常出去跟人吃饭、吐槽，一般就和马宗明、孙鑫。宗明学长从本科开始长期以来请我吃饭，付钱的动作一直潇洒。不过自从我去了沃顿他觉得我步入小康以后他就跟我AA了（笑）。孙鑫是2007级的学弟，从他入职宾大以后我们就经常聊天。不过和他聊过后常让我更焦虑，他最近做得很好，可以算是一个经常鞭策学长的学弟（笑）。他经常给我洗脑，最近又做了什么好的工作，什么让他很满意，还有什么可以做的。作为学长，我听着并且夸奖他，同时也觉得压力好大啊（笑）。

Q：毕业后您再回到母校时，是否有有趣的故事或者经历？

A：我记得第一次留学回北大的时候，那时候背着个小书包走遍了北大的每一寸地方，一边走一边是百感交集。所谓往事一幕幕吧，都差点哭出来的感觉。后来我几乎每年都回来，不过现在走在校园已经没有第一次回来时那种浓烈的感觉了，但是那种淡淡的情愫是一直在的。现在在未名湖逛，已经不会再回想往事，更多地会让我感到莫名的平静。今年回到北大访问，感觉家园食堂的饭好好吃，我已经吃了很久了，还乐此不疲。我记得我读书时常去农园，那时候吃饭是一碗水煮鱼配两碗米饭，当时一份菜两碗米饭应该是标配，因为饿且预算有限。钱再少一些的时候可以去学一，有麻辣烫，我记得三四块钱就可以吃得很好。

2021年7月12日，丁剑作为校友代表在北京大学数学科学学院毕业典礼上致辞

Q：您读书时本研衔接得怎么样？

A：其实蛮痛苦的，我记得在伯克利时，课程学习对我而言没有什么问题，因为这些概率论的课我在北大已经学过了，但是做研究刚开始起步还是很困难的，因为没有这种思维。我记得当时我导师Yuval Peres让我做一维环上面伊辛模型的一个单调性问题，我觉得这个问题现在可能都还没被解决。当时我每天的工作就是画两圈，然后盯着两圈看两小时，然后去吃饭，这样重复了一个暑假，这段经历还是很痛苦的。后来Yuval开始对我具体指导得更多一些，他有很多好的问题也有很多好的想法，再加上又跟当时的博士后Eyal Lubetzky一起合作。Eyal在我博士初期对我影响非常大，当时我的英文很不好，但是他很有耐性。我们经常长时间讨论问题，他教会了我很多。我们第一个做动的问题是生灭过程中的一个混合时问题，后面就慢慢地顺起来了。我觉得我的经验就是，可能刚开始学生对研究都不是很有感觉，但当你慢慢地看，慢慢地见证过这种过程，一遍两遍以后，就有感觉了，慢慢地自己就会了，也就有了自信。而且当你大概知道研究是怎么回事后，慢慢地你就能够有很多自主的想法。刚开始有人扶着你走，后来你自己慢慢走，再后来你可以快快地走，后来你就可以开始尝试起飞了，就是这样的过程。

Q：您对北大数学学科的发展有什么展望？

A：我觉得北大数学很厉害，现在招的人都很厉害，标准也很高。我觉得北大数学的发展在接近国际超一流水平之前不会有太大的瓶颈，但是要达到最顶尖大学的水平，可能需要更多人更长时间的努力 。

Q：您平时如何带学生呢？怎样看待博士生培养，有什么好方法吗？

A：我一般就找一个问题，然后当学生做到他觉得卡住的时候我们再来讨论，讨论到可以继续时，学生又自己去做，然后到下一次卡住的时候我们再来讨论。好的方法应该是因人而异的，因材施教是最好的方法。有的学生适合手把手教，有的学生适合放养，我觉得没有一个统一的回答。

Q：那您觉得什么是好的学生？

A：我想最基本的要求是我能够教会他东西；第二层是我们能够互相学习，教学相长；第三层是能够反过来教我并且我还能跟得上；能够反过来教我，但是我都跟不上节奏的就是最好的学生了。至于更好的，对我而言就有点深不可测了。

Q：有什么办法让自己保持相对高的文章产出量呢？

A：我觉得如果你有几个不同的方向在做，就自然高产了。但是最后衡量一个人的学问，应该是说看有没有哪些想法真的对这个领域的发展做出了不可替代的贡献。所以从这个角度来衡量，并不是你push自己得越多越好，相反我们需要有一定的酝酿时间，对学科的发展有一定的了解以后，才知道哪些方法提出来，哪些问题做出来是会有更大意义的。可能有时候短短的几页纸，所包含的内容要远远比好多文章（甚至是很多发表在好杂志的文章）都好。

Q：平时您怎样push(鞭策)自己，又是如何让自己工作效率特别高的呢？

A：回过头来想想，我push自己最可借鉴的是不让自己躺在舒适区。我每天至少要保持两个小时的时间，比较专注地来思考学术，不管遇到什么样的情况，都要保持专注。学术，并不是说你这个礼拜整天通宵，然后下个月啥都不管，这不是一个好的策略，长期地持之以恒地去思考才最重要。

Q：您有没有什么时候怀疑过自己？

A：很多次自我怀疑。博士刚开始时我怀疑自己能不能做学术，后来就是经常怀疑我还能不能做让自己兴奋的结果。每当我一段时间没有好的想法的时候，我都会怀疑。大多数人应该比我乐观点的，不过好在我的一个优点是哪怕自我怀疑，我也不曾停下脚步。

Q：这种时候您一般是怎么坚持下去或走出来的？

A：当我教完课还有时间时，我就去把自己觉得有趣的问题一个个拿出来轮着思考，有时候就会有一些好的想法，也可以去跟人讨论，换一些方向换一些问题，也慢慢地会有一些好处。倒也谈不上坚持，因为思考数学已经成为一种习惯。不过心情的调节就比较难一点。我有时候研究没有想法就在楼道里面转悠想找人聊天，然后发现大家都很忙，就只好灰溜溜地回自己办公室接着发呆。

Q：您最想对目前在校学习数学的同学们说什么？

A：找一个你欣赏的老师，找几个你喜欢的同学，找一个你觉得有趣的方向，一起读一起想一起聊。哪怕最后一无所成，这段经历依然愉悦且宝贵。